Парадоксальный механизм‍

‍‍И. И. Арт­обо­лев­ский, Н. И. Левит­ский. Меха­низмы П. Л. Чебышева / В кн.: Науч­ное насле­дие П. Л. Чебышева. Вып. II. Тео­рия меха­низмов. — М.—Л.: Изд-во АН СССР. 1945. С. 30–32.

‍‍И. И. Арт­обо­лев­ский, Н. И. Левит­ский. Модели меха­низмов П. Л. Чебышева / В кн.: Пол­ное собра­ние сочи­не­ний П. Л. Чебышева. Том IV. Тео­рия меха­низмов. — М.—Л.: Изд-во АН СССР. 1948. С. 215–217.

Какое пре­об­ра­зо­ва­ние кри­вых может выпол­нять пред­став­лен­ное сочле­не­ние с одним непо­движ­ным крас­ным шар­ни­ром?

Пусть серый шар­нир сколь­зит по кри­вой, симмет­рич­ной отно­си­тельно прямой, про­хо­дящей через закреп­лён­ный крас­ный шар­нир. Можно пока­зать, что в таком слу­чае тра­ек­то­рия синего шар­нира будет также симмет­рична отно­си­тельно неко­то­рой прямой, про­хо­дящей через непо­движ­ный шар­нир. Рос­сийский матема­тик Паф­ну­тий Льво­вич Чебышев иссле­до­вал вопрос, какова же может быть эта тра­ек­то­рия.

Важ­ным част­ным слу­чаем серой тра­ек­то­рии явля­ется окруж­ность. На прак­тике он реа­ли­зу­ется добав­ле­нием одного непо­движ­ного (крас­ного) шар­нира и ведущего звена неко­то­рой длины.

Для синей же тра­ек­то­рии двумя важ­ными слу­ча­ями явля­ется схожесть её либо с отрез­ком прямой, либо с окруж­но­стью или её дугой. Чебышев пишет: «Здесь мы займёмся рас­смот­ре­нием слу­чаев, наи­бо­лее про­стых и наи­чаще пред­став­ляющихся на прак­тике, а именно когда име­ется в виду полу­чить движе­ние по кри­вой, кото­рой неко­то­рая часть, более или менее зна­чи­тель­ная, мало раз­нится от дуги круга или от прямой линии».

Именно к выяв­ле­нию наи­лучших парамет­ров этого меха­низма, решающего пере­чис­лен­ные задачи, Паф­ну­тий Льво­вич впер­вые сам при­ме­няет тео­рию при­ближе­ния функций, раз­ра­бо­тан­ную им неза­долго до этого при изу­че­нии парал­ле­лограмма Уатта.

Под­би­рая параметры лямбда-меха­низма, Паф­ну­тий Льво­вич Чебышев доби­ва­ется того, что шатун­ная кри­вая пооче­рёдно каса­ется двух концен­три­че­ских окруж­но­стей, оста­ва­ясь всё время между ними.

Достроим лябмда-меха­низм, доба­вив непо­движ­ный шар­нир и два звена, сумма длин кото­рых равна ради­усу большей окруж­но­сти, а раз­ность — ради­усу меньшей.

Полу­чивше­еся устройство имеет точки бифур­кации или, как ещё гово­рят, сингу­ляр­ные или осо­бые точки. Нахо­дясь в такой точке, при одном и том же движе­нии лямбда-меха­низма по часо­вой стрелке добав­лен­ные зве­нья могут начать вращаться либо по часо­вой стрелке, либо про­тив. Таких точек бифур­кации в нашем меха­низме шесть — когда добав­лен­ные зве­нья нахо­дятся на одной прямой.

Суще­ствует большое и важ­ное направ­ле­ние в матема­тике — тео­рия осо­бен­но­стей — иссле­до­ва­ние пред­мета через изу­че­ние его осо­бых точек. Очень про­стым част­ным слу­чаем явля­ется изу­че­ние пове­де­ния функции через иссле­до­ва­ние точек её мак­симума и минимума.

Чтобы наш меха­низм про­хо­дил все шесть осо­бых точек в одном напе­рёд выбран­ном направ­ле­нии, маленькое звено свя­зы­вают с махо­ви­ком, кото­рое будучи рас­кру­чен­ным в какую-то сто­рону, выво­дит меха­низм из осо­бой точки вращающимся в ту же сто­рону.

Если из точки бифур­кации рас­кру­тить махо­вик так же, как и ведущее звено, по часо­вой стрелке, то за один обо­рот ведущего звена махо­вик сде­лает два обо­рота.

Если же из осо­бой точки при­дать махо­вику движе­ние про­тив часо­вой стрелки, то за один обо­рот ведущего звена по часо­вой стрелке махо­вик сде­лает целых четыре обо­рота!

В этом и заклю­ча­ется пара­док­саль­ность этого меха­низма, при­думан­ного и сде­лан­ного Паф­ну­тием Льво­ви­чем Чебыше­вым. Каза­лось бы, плос­кий шар­нир­ный меха­низм должен рабо­тать одно­значно, однако, как видим, это не все­гда так. И при­чи­ной являются осо­бые точки.